Question 11.23: The following data pertain to a jet engine flying at an alti...

Refer Fig. 42.
Given : T.P. = 750 kW ; p _{1}  =   0.32    bar,   T_{1}  =   –  42    +     273   =   231   K ;   T_{3}   =   690   +   273   =   963   K ;   r_{pc}   =   5.2 ;   C   =   42500   kJ/kg ;   C_{a}   =   215   m/s,   C_{4}  ^{′ }  =   19.5   m/s,   η_{c}   =   0.86 ;   η_{t}   =   0.86 ;   η_{jt} = 0.9.
Refer Fig. 42.
Let                                                              m_{f} = kg of fuel required per kg of air
Then, heat supplied per kg of air
= 42500    m_{f }  =    (1   +   m_{f})   ×    1.087  (T_{3}   –   T_{2}  ^{′ })                                                …(i)

Now,                                               \frac{ T_{2} }{ T_{1} }  =    (\frac{p_{2}}{p_{1}})^{\frac{γ   –    1}{γ }}    =  (5.2)^{\frac{1.4   –    1}{1.4}}    =  (5.2)^{0.2857}   =  1.60

or                                                                    T_{2} = 231 × 1.60 = 369.6 K

Also,                                                        η_{c}   =  \frac{ T_{2}  –    T_{1} }{T_{2}  ^{′ }  –    T_{1} }                    or                  T_{2}  ^{′ }   =  T_{1}   +  \frac{ T_{2}  –    T_{1} }{η_{c} }   =  231   +  \frac{369.6   –    231 }{0.86}   =  392.2 K

Substituting the value of T_{2}  ^{′ }  in eqn. (i), we get
42500  m_{f}   =   (1   +    m_{f})    ×    1.087    (963    –    392.2)   =    620.46   (1   +    m_{f})
or                       42500  m_{f }  =    620.46   +    620.46    m_{f} 

or                                      m_{f }  =  \frac{620.46 }{(42500   –    620.46)}  =  0.0148 = fuel-air ratio

∴     Air-fuel ratio            =  \frac{ 1}{0.0148}  =  67.56 : 1
The discharge velocity C_{j}   =   C_{5}  ^{′ }  cannot be determined from the thrust equation because the rate of air-flow is not known. It may be determined from the expression of jet efficiency.

Jet efficiency,                              η_{jet}   =   \frac{Final    kinetic     energy   in   the   jet}{Isentropic   heat    drop   in    the   jet    pipe   +    Carry-over    from    the   turbine }

or                              η_{jet}   = \frac{C_{j}²  /  2}{c_{pg}  (T_{4}  ^{′ }   –    T_{5})   +    C_{4}  ^{′ } ² /  2}          (where   C_{4}  ^{′ }  =   195   m/s  )                                             …(ii)

Since the turbine’s work is to drive the compressor only, therefore,

or                                         1.005 (392.2 – 231) = 1.087(1 + 0.0148) (963 – T_{4}  ^{′ } ) 

or                                              T_{4}  ^{′ }  =    963  –    \frac{1.005 (392.2   –    231)}{1.087   (1   +   0.0148)}    = 816.13 K

Let                             r_{pt}  =   expansion   pressure   ratio   in   turbine      i.e.,    r_{pt}   =  \frac{p_{3}}{p_{4}}

∴                                                   r_{pt}      ×     r_{pj}   =  \frac{p_{3}}{p_{4}}   ×  \frac{p_{4}}{p_{5}}    \simeq  5.2

Now,                                                   η_{t}  =  \frac{T_{3}    –     T_{4}  ^{′ } }{T_{3}    –     T_{4} }        or            T_{4}  =  T_{3}    –    \frac{T_{3}    –     T_{4}  ^{′ } }{η_{t}} 

= 963 – \frac{963    –    816.13}{0.86}   = 792.2 K

Also,                                              \frac{ T_{3} }{ T_{4} }  =    (\frac{p_{3}}{p_{4}})^{\frac{γ   –    1}{γ }}   =  (\frac{p_{3}}{p_{4}})^{\frac{1.33   –    1}{1.33 }}           or              \frac{963}{792.2}  =   ( r_{pt})^{0.248}

or                                                  r_{pt}   =   (   \frac{963}{792.2})^{\frac{1}{0.248}}    = 2.197

∴                                                  r_{pj}   =  \frac{p_{4}}{p_{5}}   =  \frac{5.2}{2.197} =  2.366

Thus,                                           \frac{ T_{4}′ }{ T_{5} }  =   (r_{pj})^{\frac{γ   –    1}{γ }}    =   ( 2.366)^{\frac{1.33   –    1}{1.33 }}    =  1.238

or                                                            T_{5}  =  \frac{ T_{4}  ^{′ } }{ 1.238}  =  \frac{ 816.13 }{ 1.238}      = 659.23 K

Substituting the values in eqn. (ii), we get

0.9  = \frac{C_{j}²  /  2}{1.087    ×    1000  (816.13    –      659.23)     +   195²  /  2}   =  \frac{C_{j}²  /  2}{189562.8}

∴                                                 C_{j}  =   \sqrt{0.9    ×   189562.8   ×    2}   = 584.13 m/s

(i) Overall efficiency, η_{0}  :

= 0.1291    or     12.91%.

(ii) Rate of air consumption,   \dot{m}_{a} :

Thrust power                        = Thrust × Velocity of the unit

750  = [\frac{\left\{ (1   +  \frac{m_{f }}{m_{a}}  )  C_{j}   –    C_{a}    \right\}  \dot{m}_{a}}{1000}]    C_{a}

or                                         750 =  \frac{\left\{(1   +    0.0148)        ×     584.13     –      215  \right\}    × \dot{m}_{a}}{1000}  ×   215   =    81.22    \dot{m}_{a}

or                                        \dot{m}_{a}   =  \frac{750}{81.22}  = 9.234 kg/s.

(iii) Power developed by the turbine, P_{t} :

= 9.234(1 + 0.0148) × 1.087(963 – 816.13) = 1496 kW.

(iv) The outlet area of jet tube, A_{jt} :

Now,                                                        \frac{C_{j}²   –     C_{4}  ^{′ }²}{2}  =   c_{pg}    (T_{4}  ^{′ }    –    T_{5}  ^{′ }) 

or                                                  T_{5}  ^{′ }    =    T_{4}  ^{′ }   –    \frac{C_{j}²   –     C_{4}  ^{′ }²}{2  ×  c_{pg}}

= 816.13 –  \frac{(584.13²    –   195²)}{2    ×    1.087   ×    1000}   = 676.67 K

Assume the exit pressure of the gases be equal to atmospheric pressure i.e., 0.32 bar.

Density of exhaust gases, ρ =  \frac{p_{5}  ^{′ } }{R  T _{5}  ^{′ } }   =  \frac{0.32   ×    10^{5}}{0.29   ×    1000   ×    676.67}   = 0.163 m³/kg
(Assuming R = 0.29 for the gases)

Also, discharge of jet area         =  A_{jt}   ×    C_{j}   ×    ρ  =  \dot{m}_{a}  (1   +  \frac{m_{f }}{m_{a}}  )

or                                         A_{jt}   × 584.13 × 0.163 = 9.234 (1 + 0.0148)

or                                         A_{jt}   = 0.0984 m².

(v) Specific fuel consumption in kg per kg of thrust :

Specific fuel consumption  =  \frac{0.0148   ×    9.234   ×    3600}{1000   ×    (750/215)}

= 0.141 kg/thrust-hour.