Question E.2: Use nodal analysis to solve for the nodal voltages in the ci......

At node 1,

2 = \frac{V_{1}  –  V_{2}}{4} + \frac{V_{1}  –  0}{8} → 16 = 3 V_{1}  –  2 V_{2}                        (E.2.1)

At node 2,

3I_{x} = \frac{V_{2}  –  V_{1}}{4} +  \frac{V_{2}  –  V_{3}}{2} + \frac{V_{2}  –  V_{4}}{2}

But

I_{x} = \frac{V_{4}  –  V_{3}}{4}

so that

3( \frac{V_{4}  –   V_{3}}{4}  )  = \frac{V_{2}  –   V_{1}}{4} + \frac{V_{2}  –   V_{3}}{2}  + \frac{V_{2}  –   V_{4}}{2}   →                            (E.2.2)

0 = – V_{1} + 5 V_{2} + V_{3} – 5 V_{4}

At node 3,

3 = \frac{ V_{3}  –   V_{2}}{2}   +  \frac{V_{3}  –   V_{4}}{4} →    12 = –  2V_{2}  +  3V_{3}  –  V_{4}                           (E.2.3)

At node 4,

0 = 2 + \frac{V_{4}  –  V_{2}}{2}  + \frac{V_{4}  –  V_{3}}{4} → – 8 = – 2 V_{2}  – V_{3}  + 3 V_{4}                       (E.2.4)

Combining Eqs. (E.2.1) to (E.2.4) gives

\begin{bmatrix}3  & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 1 & -5 \\ 0 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \\ V_{4} \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix}16 \\ 0 \\12 \\-8 \end{bmatrix}

or

AV = B